پایان نامه مهندسی مکانیک ارتعاشات

پایان نامه مهندسی مکانیک ارتعاشات

دراین پروژه هدف شبیه سازي و رسیدن به پاسخ زمانی سیستم هاي ارتعاشی به کمک نرم افزار متلب

می باشد . مسائل ارتعاشی مورد آزمایش در اینجا ارتعاش آزاد سیتم هاي یک درجه آزادي از جمله (MATLAB)

میرا ، نامیرا ، میرائی کولمب و ویسکوز و سیستم هاي مکانیکی دو درجه آزادي می باشد هکچنین در قسمت دوم

هدف رسیدن به پاسخ زمانی اي سیستم ها می باشد .

سیستم هاي ارتعاشی یک درجه آزادي ، میرائی ، (MATLAB) کلید واژه : ارتعاشات مکانیکی ، نرم افزار متلب

ویسکوز ، میرائی کولمب ، سیستم هاي دو درجه آزادي

: فصل 1- ارتعاشات سیستم هاي یک درجه آزادي 1

اکثر سیستم هاي مکانیکی ، سیستم هاي یک درجه آزادي هستند . این سیستم ها بر اساس اینکه حرکت آن ها

توسط یک متغییر یا مختصات تکی تفسیر می شود ، مشخصه بندي خواهند شد . به عنوان مثال در سیستم جرم و

در راستاي حرکت عمودي جسم نیاز x(t) 1 زیر براي توصیف حرکت جرم فقط به یک مختصات یعنی - فنر شکل 1

نیاز داریم توجه کنید که  (t) 2 براي توصیف حرکت جرم به مختصات - است ولی در سیستم پاندول ساده شکل 1

است . x(t)  L sin از قوانین مثلثات به قرار  (t) و x(t) در سیستم پاندول ساده رابطه بین

تحریکات به دو دسته تقسیم می شوند : تحریکات اولیه و نیرو هاي خارجی . رفتار سیستمی که توسط حرکت حاصل

از این تحریکات مشخصه بندي می شوند ، پاسخ سیستم نامیده می شود . به طور کلی با جابجایی ها تشریح می

شوند .

-1-1 ارتعاش آزاد سیستم انتقالی نا میرا :

ساده ترین مدل سیستم مکانیکی ارتعاشی شامل یک جرم که توسط فنر بدون وزن خطی به تکیه گاه صلب متصل

بیان x(t) 1). جرم مقید به حرکت تنها در جهت عمودي است . حرکت سیستم در مختصات - شده است (شکل 1

است . ( DOF  می شود و از این رو سیستم یک درجه آزادي ( 1

معادله حرکت براي ارتعاش آزاد سیستم یک درجه آزادي نا میرا به این صورت نوشته می شود :

mx  k(x  )  mg  0 st  

باتوجه به حالت استاتیکی مساله داریم :

k  mg  k  mg  0 st st  

پس با جایگذاري در معادله دیفرانسیل بالا داریم :

mx kx  0

باشد با جایگذاري مشتقات دوم این حدس در معادله دیفرانسیل بالا داریم : x  est اگر

Free vibration of single of freedom system 1

2 سیستم پاندول ساده - 1 سیستم جرم و فنر شکل 1 - شکل 1

   

   

( ) cos( ) sin( )

( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

( )

( ) 0 0

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

2 2

2

1 2

x t C t C t

x t t i t C t C t

x t e e t i t t i t

x t e e

s i

m

i k

m

ms k e ms k s k

x s e

x se

x e

n n

n n n n

n n n n

i t i t

s t s t

n

st

st

st

st

A A A A

A A A A

A A

n n

 

   

   



 

  

     

      

 

             

 

  













sec که در اینجا

rad

m

k

n یک ثابت حقیقی است و فرکانس طبیعی نامیرا 2 سیستم گفته می شود ، حل معادله  

فوق با جایگذاري شرایط اولیه حرکت 3 زیر بدست می آید :

0 0 x(0)  x , x(0)  x

به ترتیب جابجایی اولیه و سرعت اولیه هستند که با جایگذاري در جواب معادله سیستم داریم: x و 0 x که در اینجا 0

 



  

  





 



      













  







n n

n n

n

n

n

n

x

x t t x t X t x x x

C x

C x

C

x C

x







  









0

-1 0

2

2 0

0

0

0

2

1 0

0 2

1

( ) cos( ) sin( ) sin( ) , X , tan

(0)

(0)

  





زمان مورد نیاز براي تکمیل یک چرخه می باشد یا زمان ما بین دو نقطه متوالی است که به صورت ،  دوره 4 تناوب

زیر با فرکانس طبیعی رابطه دارد :

Hz

k

m

f

m

k

n

n

     

 

sec

1

2

f 1

2

1 f

2 2 sec

n  n 













می باشد . (Hz) است ، که یک چرخه بر ثانیه معادل یک هرتز (CPS) در این حالت واحد فرکانس ، چرخه بر ثانیه

-2-1 ارتعاش آزاد سیستم پیچشی نا میرا :

جرم متصل شده به یک شفت، یک نونه سیستم پیچشی ساده است (شکل

3-1 ) . جرم شفت در مقایسه با جرم دیسک بسیار کوچک است ، به همین

دلیل از جرم شفت صرف نظر می شود .

به صورت زیر تعیین می ، Mt ، گشتاوري که پیچش را ایجاد می کند

شود :

o

t J

M  Gj

ممان جرم قطبی شفت است.( 32 J که

d 4 J 

براي یک شفت دایره اي ( 

می باشد . d به قطر

natural Frequency 2

Initial conditions 3

period 4

به صورت زیر تعیین می شود : ، kt طول شفت می باشد . ثابت فنریت پیچشی l مدول برشی مواد شفت و G

l

k T GJ t  



3 به صورت زیر نوشت : - معادله حرکت سیستم را می توان با توجه به پیکره آزاد جسم در شکل 1

    0 o t J  k

sec

rad

J

k

o

t

n  

فرکانس دورانی طبیعی چنین سیستمی به صورت بالا بدست می آید و حل عمومی معادله حرکت به صورت زیر می

باشد :

( ) cos( ) 0 sin( )

0 t

I

t t n

G

n 



  



 

-3-1 پایداري 5 سیستم هاي خطی و نامیرا :

پارامترهاي جرم یا اینرسی 6(لختی) و سختی هر دو در پایداري سیستم ارتعاشی یک درجه آزادي نامیرا موثراند .

ضرایب جرم و سختی در معادله مشخصه که پاسخ سیستم را تعریف می کند وارد می شوند . از این رو هر تغییري

در این ضرایب منجر به تغییر در رفتار یا پاسخ سیستم می شود . در این بخش اثرات پارامترهاي جرم و سختی بر

پایداري حرکت سیستم هاي یک درجه آزادي نامیرا ارزیابی شده است . می توان نشان داد که با انتخاب صحیح

ضرایب لختی و سختی می توان از ناپایداري سیستم اجتناب کرد . البته باید توجه داشته باشد که در ارتعاشات

سیستم هاي یک درجه آزادي پاسخ به صورت هارمونیک ساده است و چنین سیستم هایی در مرز پایداري قرار دارند

که در اینجا منظور از پایداري همین می باشد . یک سیستم پایدار سیستمی است که حول موقعیت تعادل 7 خود

نوسانات کراندار انجام می دهد .به عنوان مثال سیستم پاندول ساده یک سیستم در مرز پایداري می باشد که اگر

l پاندول را کمتر از 6درجه دوران دهیم سیستم ارتعاشات هارمونیک با فرکانس طبیعی خود یعنی

g

n حول  2 

موقعیت تعادل خود انجام می دهد ولی سیستم پاندول معکوس را اگر از موقعیت تعادلش منحرف کنیم هرگز به

موقعیت تعادل خود نمی رسد پس این سیستم نا پایدار و پاندول ساده به دلیل ارتعاشات هارمونیک در مرز پایداري

می باشد .

Stability 5

Mass/Inertia 6

About Equilibrium position 7

3 ارتعاش پیچشی یک دیسک - شکل 1

-4-1 ارتعاش آزاد با مستهلک کننده ویسکوز :

نیروي مستهلک کننده با سرعت متناسب است و در جهت عکس سرعت اعمال شده عمل می کنند که می توان آن

را به صورت زیر بیان کرد :

( ) 2 1 F c x x d    

ثابت استهلاك یا ضریب میرایی است . معادله دیفرانسیل حرکت براي ارتعاش آزاد یک سیستم جرم ، فنر و c که

4 به این شکل است ؛ - دمپر میرا شکل 1

را حل فرض نمائیم ، معادله مشخصه یا کمکی به صورت زیر خواهد بود ؛ x  cest اگر

2    0

m

s k

m

s c

که داراي ریشه هاي زیر است :

m

k

m

c

m

s c  







  

2

1,2 2 2

m حل معادله فوق به این که کمیت

k

m

c  







 2

2 صفر ، یا مثبت یا منفی است ، می تواند به یکی از سه صورت زیر

تعریف شود میرائی بحرانی مقداري است که این عبارت صفر شود . پس ؛

c n

c km m

m

c m k

m

k

m

c 0 2 2 2 

2

2

      









به صورت نسبت ثابت میرائی به میرائی بحرانی تعریف می کنیم ؛ ( ) همچنین نسبت میرائی

ب - پیکره آزاد جسم الف - سیستم جرم ، فنر و دمپر

4 - شکل 1

c c

  c

آنگاه خواهیم داشت ؛

n

c n m

c

m

c

c

c

m

c 



     

2 2

?

2

در نتیجه ریشه هاي معادله مشخصه به صورت زیر بازنویسی می شود :

  n s   2 1

1,2    

     

x t C e n C e n

x t C es t C es t

 

 

   





 

    

 

1

2

1

1

1 2

2 2

1 2

( )

( )

پاسخ سیستم ارتعاشی آزاد جرم ، فنر و دمپر بسته به این که نسبت میرائی کوچتر یا بزرگتر و یا مساوي صفر باشد

به سه شکل زیر نمایش داده می شود ؛

  1 ؛ (Under damped) -1 تحت میرائی

  1 ؛ (Critically damped) -2 میرائی بحرانی

  1 ؛ (Over damped) -3 فوق میرا

  1 ؛ (Under damped) -1-4-1 تحت میرائی

منفی خواهد شد و ریشه هاي  2  در این حالت چون نسبت میرائی کوچکتر از صفر می باشد عبارت 1

معادله مشخصه به صورت زیر محاسبه می شود ؛

 

  







   

   



n

n

s i

s i

  

  

2

2

2

1

1

1

پاسخ سیستم را با توجه به ریشه هاي معادله مشخصه به صورت زیر می توان بازنویسی کرد ؛

    

 

  







      

   

     

  

  

 

 



  

 



 



    





 



  

B

Xe t A

e A t B t

e C C t i C C t

e C e C e

x t C e C e

A B n

t

n n

t

n n

t

t i t i t

i t i t

n n

n n

- 2 2 2 1

- 2 2

2

1 2

2

1 2

-

1 1

1

-

1

2

1

1

sin 1 , X , tan

cos( 1 ) sin( 1 )

cos( 1 ) sin( 1 )

2

( )

n

n

n

2 2

n

2 2

   

  

  

    

   



 

 









 

 n در اینجا

1 فرکانس میرا سیستم می باشد و برابر با ؛  2

   d n

 1 2

5) آمده است . - کاهش دهنده نمائی میباشد که در شکل زیر( 1 ent می باشد . و عبارت

  1 ؛ (Critically damped) -2-4-1 میرائی بحرانی

در این حالت هنگامی نسبت میرائی برابر واحد میشود که ثابت میرائی با میرائی بحرانی برابر شود یعنی

c ) شود . در این حالت ریشه هاي معادله مشخصه تکراري می شوند : (c  c

 

n

c n

m

m

m

s   c    

2

2

2 1,2

پس جواب عمومی به شکل زیر حاصل می شود ؛

x(t) e (A Bt) t  n  

  1 ؛ (Over damped) -3-4-1 فوق میرائی

در این حالت نسبت مبرائی بزرگتر از واحد می باشد پس میرائی بحرانی از ثابت میرائی بزرگتر خواهد

در این حالت ریشه هاي معادله مشخصه حقیقی خواهد بود و برابر : ؛ (cc  c ) بود

 

  









    

    



1 0

1 0

2

1

2

1





 

 

n

n

s

s

پس جواب عمومی خواهد بود ؛

     

x t C e n C e n 





 

   





 

     1

2

1

1

2 2

( )

در ین حالت حرکت سیستم غیر نوسانی است . شکل زیر ؛

حال این سه حالت براي مقایسه در یک نمودار ترسیم می کنیم ؛

-5-1 کاهش لگاریتمی

کاهش لگاریتمی بیلنگر نرخی است که در آن دامنه ارتعاش آزاد میرا کاهش می یابد . این مقدار به عنوان لگاریتم

طبیعی نسبت هر دو دامنه متوالی تعریف می شود . نسبت دامنه هاي متوالی به شکل زیر است ؛

. ( )

1

cte

X t

X t e

e

e

x

x n d

n i d

n i

i

i     





 

 









و کاهش لگاریتمی آن :

     

n d

i

i x e

x   n d 



ln ln

1

که با جایگزینی

     

2 1

2 2



 

n

d

خواهیم داشت ؛ d







2 1

2





5 پاسخ سیستم ارتعاشی جرم ، فنر و دمپر به ازاي سه حالت مختلف نسبت میرائی - شکل 1

فصل 2- ارتعاشات اجباري سیستم هاي یک درجه آزادي :

سیستم هاي مکانیکی یا سازه ها اغلب در معرض نیروها یا تحریکات خارجی هستد . نیرو هاي خارجی ممکن است

هارمونیک ، غیر هارمونیک اما متناوب ، غیر هارمونیک اما داراي شکل تعریف شده یا تصادفی باشند . پاسخ سیستم

به چنین نیروها یا تحریکاتی ، پاسخ اجباري نامیده می شود . تحریکات غیر متناوب ممکن است متناوب یا غیر

متناوب باشد . پاسخ سیستم به یک تحریک هارمونیک ، پاسخ هارمونیک نامیده می شود . پاسخ سیستم به

تحریکات غیر دوره اي ناگهانی ، پاسخ گذرا نامیده می شود . منابع نحریک هارمونیک در ماشین هاي دوار نامیزان

هستند و نیروها به وسیله ماشین هاي رفت و برگشتی یا در برخی از موارد به وسیله حرکت خود ماشین تولید می

شوند .

-1-2 ارتعاش اجباري سیستم میرا

F(t)  F0 sint 1در نظر بگیرید . این سیستم تحت نیروي هارمونیک - سیستم جرم ، فنر و دمپر ویسکوز شکل 2

فرکانس زاویه اي تابع نیرو می باشد .  ، دامنه نیرو F قرار دارد که 0

با توجه پیکره آزاد جسم معادله نیتون را براي این سیستم می نویسیم ؛

mx cx kx F cos t 0     

می باشد . x(t)  xh  xp است که xp و حل اختصاصی xh حل معادله فوق شامل دو قسمت ، حل عمومی

به عنوان پاسخ گذرا نامیده می شود ، xh حل اختصاصی نشان دهنده پاسخ سیستم به تابع نیرو است و حل عمومی

به عنوان حل حالت پایدار شناخته می شود . xp که با حضور مستهلک کننده از بین می رود . انتگرال مخصوص

بعد از اینکه ارتعاش حالت گذرا از بین رفت ، ارتعاش حالت پایدار به مدت طولانی باقی می ماند .

حل خصوصی یا حل حالت پایدار ، به صورت زیر فرض می شود :

x c t c t p sin cos 1 2  

چون در این مساله ما تحریک را سینوسی در نظر گرفتیم حل حالت پایدار هم در نهایت می توان سینوسی در نظر

گرفت :

x  X cos( t  ) p

حالا این پاسخ حدس زده شده را در معادله دیفرانسیل جایگذاري می کنیم ؛

X k m cos(t  ) c sin(t  ) F sint 0

2     

ب - پیکره آزاد جسم الف- سیستم جرم ، فنر و دمپر تحت نیروها هارمونیک

1 - شکل 2

از قوانین مثلثات داریم ؛

  



  



     

     

cos( t - ) cos t cos - sin t sin

sin( t ) sin t cos sin cos t

با جایگذاري این مقادیر در معادله بالا و ساده سازي روابط آن داریم :

 

  

 

  

  



( )sin cos 0

( ) cos sin

2

0

2

   

   

X k m c

X k m c F

سپس داریم :

 22 2

0

k m (c)

F

X

 













 

2

tan 1







k m

c

و دیگري پاسخ xh همانطور که گفته شد پاسخ کلی سیستم از دو پاسخ تشکیل شده است یکی پاسخ عمومی یعنی

می باشد که این پاسخ با گذشت زمان از بین نمی رود . اگر دو پاسخ را xp خصوصی یا حل حالت پایدار یا همان

جدا گانه رسم کنیم و سپس با ادغام آنها بخواهیم پاسخ حالت پایدار ار ترسیم کنیم به شکل زیر خواهد بود ؛

در اینجا باز هم روابط زیر حاکم اند :

frequency ratio

defelection under static force

; 2

2

Underdamped natural frequency .

0

0

 

 

  

 





 





 

n

st

n

c n

n

r

k

m

c

m

c c

m

k

F F

c

براي بی بعد کردن پاسخ با بکار گیري از مقادیر بالا داریم ؛

2 پاسخ حالت پایدار - شکل 2

   













 





2

1

2 2 2

1

tan 2

1 2

1

r

r

r r

X

st





 

 کمیت st

ضریب بزرگنمایی ، یا نسبت دامنه نامیده می شود . کمیت هاي ، X  st

بر حسب نسبت فرکانسی  و X

1 ترسیم شده اند . - با توجه به رابطه هایشان که در بالا بدست آوردیم در شکل 8 ( ) و نسبت میرائی (r )

در ترسیم این نمودار می بایست نکات زیر را دقٌت کرد .

در r  یا 1 r  نشان داده می شود که زاویه ي فاز براي 1   1. براي یک سیستم نامیرا یعنی 0

180 درجه رسم خواهد شد .

2. میرائی به ازاي تمامی مقادیر فرکانس اجباري باعث کاهش نسبت دامنه می شود .

3. حداکثر دامنه در محدوده کوچکتر از نسبت فرکانسی واحد رخ می دهد . براي پیدا کردن این

فرکانس می بایست از رابطه ي نسبت دامنه مشتق گرفت ، سپس این عبارت را مساوي صفر قرار

می دهیم . به فرکانس بدست آمده از این رابطه فرکانس میرا گفته می شود .

   

 

 

 

 

2 2

2 2

2 2

2

3

2 2 2

2 2

2 2 2 1

2 2 2

1

2 2 2

1 2 1 2

1 2 0

2(1 )( 2 ) 8 0

2

0 1

(1 ) (2 )

2(1 )( 2 ) 8

2

1

(1 ) (2 )

(1 ) (2 ) 2(1 )( 2 ) 8

2

1

0

 











 

 



     

   

   



 

 

  







 

    



  







 







d n

st

r

r

r r r

r r

r r r

r r

X r r r r r

dr

d

4. حداکثر دامنه از جایگذاري فرکانس میرا در رابطه نسبت دامنه به صورت زیر حاصل می شود .

2

max 2 1

1

  

 







 





st

X

باشد از رابطه ي نسبت دامنه ، براي محاسبه دامنه داریم :  n همچنین اگر

 2

1

max

 







 





st

X

که این حالت مشابه آن است که در رابطه اصلی حداکثر دامنه مقادیر خیلی کوچک نسبت میرائی را

  قرار دهیم یعنی 1

رخ می دهد که این حالت دقیقا حالتی r  5. دامنه بینهایت در حالت نسبت فرکانسی واحد یعنی 1

باشد .همچنین در نمودار نسبت دامنه خواهید دید که به ازاي 2  n است که

دیگر r  1

قله اي نخواهد داشت .

 و نسبت دامنه  6. زاویه فاز st

 و فرکانس تحریک m , k , c به پارامترهاي سیستم یعنی X

بستگی دارد .

با افزایش میرائی زاویه فاز افزایش می یابد و بالعکس .  n 7. در حالت

الف – نمودار نسبت دامنه بر حسب نسبت فرکانس

ب – نمودار فاز برحسب نسبت فرکانس

3 - شکل 2

: ( تشدید ( رزونانس 8

پدیده تشدید هنگامی رخ می دهد که فرکانس تحریک با فرکانس طبیعی سیستم جرم ، فنر و دمپر برابر شود یعنی

  یا 1  n همان طور که در نکات بالا تر هم ذکر شد



n

به ازاي هر x(t) شود . در این حالت جابجایی

به بینهایت میل می کند . t مقدار

4 نشان داده شده است ، دامنه پاسخ اجباري با زمان افزایش پیدا کرده و سرانجام در نقطه اي - همان طور در شکل 2

به بینهایت می رسد که در این نقطه فنر در سیستم جرم و فنر می شکند .

: -2-2 نا میزانی دوار 9

نامیزانی در بسیاري از سیستم هاي مکانیکی دوار منبعی براي تولید تحریکات اتعاشی است که منجر به تولید

جرم خارج از مرکز ) ) m جرم کل ماشین باشد که شامل یک جرم نامرکز M نیروهاي نامیزانی نیز می گردد . اگر

دوران می کند ، می توان نشان داد که : e با نا مرکزي  که با سرعت زاویه اي

 

2 2 2

2

2

( ) ( )

sin











k m c

me

X

Mx cx kx me t

 



   

Resonance 8

Rotating Unbalance 9

4 پاسخ تشدید - شکل 2

5 نا میزان دوار - شکل 2

1 ( )2 (2 )2

( )

 











n n

n

e

X

m

M

 



1) به همرا پایه هایش به / به عنوان مثال براي شبیه سازي یک ماشین ماشین لباس شویی در سیستم نصف ( 2

صورت زیر می باشد :

6 پاسخ سیستم با نا میزانی دوار - شکل 2

الف – مدل مکانیکی یک ماشین لباس شویی ب - ماشین لباسشویی

7 - شکل 2

: -3-2 تحریک پایه 10

در بسیاري از سیستم هاي مکانیکی که روي تکیه گاه یا پایه متحرك سوار شده اند ، ارتعاش اجباري به علت حرکت

تکیه گاه نامیده می باشد . حرکت تکیه گاه یا پایه موجب انتقال نیروهاي به وجود آمده به تجهیزات سوار شده روي

آن می شود . در شکل زیر یک سیستم جرم ، فنر دمپر نمایش داده شده است :

پاسخ این سیستم به صورت زیر است ؛

2 2

2

2

1 ( ) 2

1 ( )

| |

 





 







 





 



























n n

n

Y

X

و اگر این پاسخ را روي نموداد نمایش دهیم ؛

Base Excitation 10

8 سیستم جرم ، فنر و دمپر به وسیله تحریک پایه - شکل 2

9 پاسخ سیستم جرم ، فنر دمپر بوسیله ي ارتعاش تحریک پایه - شکل 2

مثال مشهور کاربرد این نوع از سیستم ها شبیه سازي سیستم تعلیق یک خودرو می باشد که در شکل زیر نمایش

داده شده است ؛

1) خودرو با دو درجه آزادي 11 را شبیه سازي کنیم به قرار زیر خواهد بود : / همچنین اگر بخواهیم سیستم ( 2

Half car Model with 2 dof 11

10 یک خودو به همراه سیستم مکانیکی شبیه سازي شده - شکل 2

1) خودرو / 11 مدل ( 2 - شکل 2

فصل 3- سیستم هاي دو درجه آزادي

سیستم هایی که براي تشریح حرکتشان نیاز به دو مختصات مستقل دارند سیستم هاي دو درجه آزادي 12 می گویند.

1 الف و ب نمونه هایی از سیستم هاي ارتعاشی دو درجه آزادي نشان داده شده است . - در شکل هاي 3

-1-3 معادلات حرکت

2 نشان داده شده است در نظر بگیرید ؛ - سیستم جرو ، فنر و دمپر ویسکوز را که در شکل 3

رسم کنیم ؛ m و 2 m اگر چیکره آزاد جسم را براي هر دو جرم 1

از وضیعت m و 2 m که بترتیب نشان دهنده موقعیت هاي جرم هاي 1 x2 (t) و x1(t) سیستم با دو مختصات

تعادل نسبی در هر زمان دلخواه هستند ، تعریف می شوند .

Tow Degree Of Freedom System 12

ب - الف -

1 سیستم هاي دو درجه آزادي - شکل 3

2 سیستم جرم ، فنر و دمپر دو درجه آزادي - شکل 3

هستند . F2 (t) وF1(t) اعمال می شوند به ترتیب m و 2 m نیروهاي خارجی که بر جرم هاي 1

با استفاده از قانون دوم نیوتون به صورت زیر نوشته می شود . m و 2 m معادلات حرکت هر یک از جرم هاي 1

  

      

      



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 1

1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

m x t c x t c c x t k x t k k x t t

m x t c c x t c x t k k x t k x t t

F

F

  

  

تاثیر می کذارد و بالعکس . m بر حرکت جرم 2 m این معادلات نشان میدهند که حرکت جرم 1

-2-3 تحلیل ارتعاش آزاد

حل ارتعاشات آزاد حرکت برابر است با :

( ) cos( )

( ) cos( )

2 2

1 1

 

 

 

 

x t X t

x t X t

زاویه فاز است . با جایگذاري این چاسخ ها در  بسشینه دامنه ها و X و 2 X که در این پاسخ ها حدس زده شده 1

معادلات حرکت ، دترمینان ضزایب بدست می آید .









  

  

( )

( )

det

2 3

2

2 2

1 2 2

2

1

k m k k

m k k k





شرط پایدار شدن سیستم صفر شدن دترمینان ماتریس ضرایب است . یعنی ؛

( ) ( ) ( )  ( )( ) 2 0

1 2 2 3 2

2

1 2 2 2 3 1

2

1 2 m m   k  k m  k  k m   k  k k  k  k 

معادله فوق به معادله فرکانس یا معادله مشخصه معروف است . حل این معادله مقدار فرکانس ها یا مقادیر مشخصه

سیستم را حاصل می کند .

2

1

1 2

2

1 2 2 3 2

2

1 2

1 2 2 2 3 1

1 2

2 1 2 2 2 3 1

2

2

1

( )( )

4

( ) ( )

( ) ( )

2

, 1

 





 





  

  

  



  

  

  

  

  

  



m m

k k k k k

m m

k k m k k m

m m

k k m k k m



 

فرکانس طبیعی سیستم نامیده می شود .  و 2  که 1

(MATLAB) فصل 4- شبیه سازي ارتعاشات مکانیکی به کمک نرم افزار متلب

مقدمه :

حاوي مجموعه اي غنی از دستورات و توابع می باشد که براي حل مسائل تحلیل ارتعاش بسیار مفید MATLAB

است . مسائل اریه شده در این فصل ، سیستم هاي ارتعاشی خطی مقدماتی هستند و معمولا در دوره هاي ارتعاشات

براي سیستم هاي ارتعاشی تحلیلی آمده است . MATLAB مکانیکی مقدماتی بیان می شوند . در این فصل کاربرد

براي تحلیل پاسخ گذرا براي ورودي هاي ساده نیز رائه شده است . MATLAB روش محاسباتی

-1-4 مثال هاي نمونه و حل آن ها

مثال 1- پاسخ یک سیستم جرم و فنر را که پاسخ تحلیلی آن قبلا در فصل اول بحث شد را به شرط ثوابت زیر

بیابید؟

x(0) 5 , x(0) 6 m/s

5 / , m 1kg

 

 

m 

k N m

مثال 2- عبارت تحلیلی براي پاسخ سیستم یک درجه آزادي میرا که در شکل زیر آمده است براي تعیین جابجایی و

سرعت اولیه به صورت زیر است :



با حل معدله بالا و جایگذاري مقادیر عددي داده شده ، داریم ؛

5 5

0.15 0.79

5 5

( ) (0) (0) (0) 0.15 0.04 5 0.15 2 2 2  





 

  



 

 



s s

s

s s

s

ms cs k

X s mx s mx cx 

این معادله را به صورت زیر باز نویسی می کنیم :

s s s

X s s s 1

5 5

( ) 0.15 0.79 2

2

 





لذا حرکت جرم به عنوان پاسخ گام واحد 13 سیستم به صورت زیر بدست می آید ؛

5 5

0.15 0.79

( )

( ) ( ) 2  



 

s s

s

Y s

G s X s

برنامه متلب ، را با استفاده از دستورات مربوط به کنترل اتوماتیک در یک فایل اسکیریپت وارد می کنیم .

پاسخ سیستم به شکل زیر است ،

Unit step 13

- شکل مثال 7

مراجع :

1. Fundamentals Of Vibration Leonard Meirovitch_International Edition 2001, Mc

Graw-Hill

2. Mechanical Vibration _Second Edition (17-FEB-2000) Singiresu S.Rao

3. Solving Vibration Analysis Problem Using Matlab__Rao V.Dukkipati

- شکل مثال 7